타원 곡면

3. 특성

대수 곡면의 엔리퀘스-고다이라 분류에서 타원 곡면은 꽤 중요한 종류이다. 이는 대수 곡면의 중요한 예로, 복소다양체론과 4차원 매끄러운 다양체 이론에서 비교적 잘 이해되는 분류이다. 이는 대수적 수체 위의 타원곡선과 비슷하여, 여기에서 많은 성질을 유추할 수 있다.

4. 예

• 임의의 타원 곡선과 임의의 곡선의 곱공간은 타원 곡면이며, 여기에는 특이올이 없다.
• 고다이라 차원이 1인 모든 대수 곡면은 타원 곡면이다.
• 모든 엔리퀘스 곡면은 타원 곡면을 이루며, 사영 직선 위에 타원 다발을 갖는다.
• 고다이라 곡면
• 돌가체프 곡면
• 시오다 모듈 곡면

5. 특이올의 분류

고다이라 구니히코^[5][6]와 앙드레 네롱^[7]이 타원 곡면의 특이올을 분류하였다. 특이올의 구조는 존 테이트의 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다.

특이올은 유리 곡선의 합집합이며, 특이점을 갖거나 0이 아닌 중첩수를 갖는 유한한 종류로 나타난다. "최소 특이올"은 대략 "최소 곡선을 갖지 않는"이라는 뜻이며, 가능한 최소 특이올의 목록과 그 성질은 아래 표와 같다.

다발의 원의 교차 행렬은 기하학적으로 음의 반정부호(negative semidefinite^영어)여야 하며, 연결되고 대칭이어야 한다. 또한 최소성을 만족하기 위해 대각선에는 -1이 없어야 한다. 그러한 행렬은 영행렬이거나 A·D·E형 딘킨 도표의 카르탕 행렬이어야 한다.

교차 행렬은 특이올의 종류를 결정하는데, 다음 세 가지 예외가 있다.

• 교차 행렬이 영행렬이면 특이올은 타원 곡선(I₀), 이중점(I₁), 또는 첨점(II)이다.
• 교차 행렬이 아핀 A₁이면, 2개의 원이 다중치 2이다. 이들은 차수가 1인 두 점에서 만나거나(I₂), 차수가 2인 한 점에서 만난다(III).
• 교차 행렬이 아핀 A₂이면, 3개의 원이 2점끼리 만난다. 이들은 3개의 서로 다른 점이거나(I₃), 모두가 한 점에서 만난다(IV).

5. 1. 특이올의 종류

기하학적으로, 다발의 원의 교차 행렬은 음의 반정부호(negative semidefinite^영어)여야 하며, 연결되고, 대칭이며, 대각선에는 -1이 없어야 한다(최소성으로부터). 그러한 행렬은 영행렬이거나 A·D·E형 딘킨 도표의 카르탕 행렬이어야 한다.

교차 행렬은 특이올의 종류를 결정하는데, 단 다음과 같은 세 예외가 있다.

• 만약 교차 행렬이 영행렬이면 특이올은 타원 곡선이거나 (I₀), 이중점이 있거나(type I₁), 첨점(type II)이다.
• 만약 교차 행렬이 아핀 A₁이면, 2개의 원이 다중치 2이다. 이들은 차수가 1인 두 점에서 만나거나 (type I₂), 차수가 2인 한 점에서 만난다(type III).
• 만약 교차 행렬이 아핀 A₂이면, 3개의 원이 2점끼리 만난다. 이들은 3개의 서로 다른 점이거나 (type I₃), 모두가 한 점에서 만난다 (type IV).

5. 2. 교차 행렬과 특이올 유형

기하학적으로, 다발의 원의 교차 행렬은 음의 반정부호, 연결, 대칭이어야 하며, 최소성에 의해 대각선에 -1이 없어야 한다. 이러한 행렬은 영행렬이거나 A·D·E형 딘킨 도표의 카르탕 행렬이어야 한다.

교차 행렬은 다음 세 가지 예외를 제외하고 특이올의 종류를 결정한다.

• 교차 행렬이 영행렬이면 특이올은 타원 곡선(I₀), 이중점(I₁), 또는 첨점(II)이다.
• 교차 행렬이 아핀 A₁이면, 2개의 원이 다중치 2이다. 이들은 차수가 1인 두 점에서 만나거나(I₂), 차수가 2인 한 점에서 만난다(III).
• 교차 행렬이 아핀 A₂이면, 3개의 원이 2점끼리 만난다. 이들은 3개의 서로 다른 점이거나(I₃), 모두가 한 점에서 만난다(IV).

6. 모노드로미

각 특이 섬유 주위의 모노드로미는 2 × 2 정수 행렬의 그룹 SL(2, '''Z''')에서 잘 정의된 공액류이다. 행렬식이 1이다. 모노드로미는 매끄러운 섬유의 제1 호몰로지 그룹('''Z'''²와 동형)이 특이 섬유 주위를 돌면서 어떻게 변하는지를 설명한다. 특이 섬유와 관련된 이러한 공액류의 표현은 다음과 같다.^[1]

유형 II, III, IV, I₀^*, IV^*, III^* 또는 II^*의 특이 섬유의 경우, 모노드로미는 SL(2,'''Z''')에서 유한한 차수를 갖는다. 이것은 타원 섬유화가 그러한 섬유에서 잠재적 좋은 축소를 갖는다는 사실을 반영한다. 즉, 밑 곡선의 분기 유한 피복 후에는 특이 섬유를 매끄러운 타원 곡선으로 대체할 수 있다. 어떤 매끄러운 곡선이 나타나는지는 표의 j-불변량에 의해 설명된다. 복소수에서, ''j''-불변량 0을 갖는 곡선은 6차 자기 동형 그룹을 갖는 유일한 타원 곡선이며, ''j''-불변량 1728을 갖는 곡선은 4차 자기 동형 그룹을 갖는 유일한 타원 곡선이다. (다른 모든 타원 곡선은 2차 자기 동형 그룹을 갖는다.)

단면이 있는 타원 섬유화의 경우, '''야코비 타원 섬유화'''라고 하며, 각 섬유의 매끄러운 자취는 그룹 구조를 갖는다. 특이 섬유의 경우, 매끄러운 자취의 이 그룹 구조는 밑 필드가 복소수라고 가정하고 표에 설명되어 있다. (아핀 딘킨 다이어그램 $\backslash tilde\{\backslash Gamma\}$로 주어진 교차 행렬을 갖는 특이 섬유의 경우, 매끄러운 자취의 성분 그룹은 딘킨 다이어그램 $\backslash Gamma$를 갖는 단순히 연결된 단순 리 군의 중심과 동형이며, 여기에 나열되어 있다.) 특이 섬유의 그룹 구조를 아는 것은 타원 섬유화의 모델-베이유 군 (단면의 군)을 계산하는 데 유용하며, 특히 그 비틀림 부분군을 계산하는 데 유용하다.

7. 표준 묶음 공식

대수 곡면의 엔리퀘스-고다이라 분류에서 타원 곡면은 중요한 위치를 차지한다. 이는 대수 곡면의 대표적인 예시이며, 복소다양체론과 4차원 매끄러운 다양체 이론에서 비교적 잘 이해되는 대상이다. 대수적 수체 위의 타원곡선과 유사하여, 많은 성질을 유추할 수 있다.

타원 곡면이 곡면의 분류에서 어떻게 나타나는지 이해하기 위해, 최소 타원 곡면 ''f'': ''X'' → ''S''의 표준 묶음을 계산하는 것이 중요하다. 고다이라는 복소수 위에서 다음과 같은 '''표준 묶음 공식'''을 증명했다.^[2]

:$K\_X=f^*(L)\backslash otimes\; O\_S\backslash big(\backslash sum\_i\; (m\_i-1)D\_i\backslash big).$

여기서 ''f''의 다중 파이버(있는 경우)는 $f^*(p\_i)=m\_iD\_i$로 표현된다. 여기서 정수 ''m''_''i''는 2 이상이고, 계수의 최대 공약수가 1인 제수 ''D''_''i''가 있다. ''L''은 매끄러운 곡선 ''S''에 대한 어떤 선 묶음이다. ''S''가 사영적(또는 콤팩트)이면, ''L''의 차수는 ''X''와 ''S''의 정칙 오일러 지표로 결정된다. 즉, deg(''L'') = χ(''X'',''O''_''X'') − 2χ(''S'',''O''_''S'')이다. 표준 묶음 공식은 ''K''_''X''가 ''S'' 위의 어떤 '''Q'''-제수의 당김과 '''Q'''-선형적으로 동등함을 의미한다. 여기서 타원 곡면 ''X'' → ''S''가 최소라는 점이 중요하다.

우에노 켄지의 연구를 바탕으로 후지타 타카오(1986)는 표준 묶음 공식의 유용한 변형을 제시하여, ''K''_''X''가 매끄러운 파이버의 변화에 어떻게 의존하는지를 보였다.^[3] 즉, 다음의 '''Q'''-선형 동등성이 성립한다.

:$K\_X\backslash sim\_\{\backslash bf\; Q\}f^*(K\_S+B\_S+M\_S),$

여기서 '''판별식 제수''' ''B''_''S''는 ''f''의 특이 파이버와 관련된 명시적인 유효 '''Q'''-제수이다. '''모듈 제수''' ''M''_''S''는 $(1/12)j^*O(1)$인데, 여기서 ''j'': ''S'' → '''P'''¹는 매끄러운 파이버의 ''j''-불변량을 나타내는 함수이다. (따라서 ''M''_''S''는 제수류군 Cl(''S'')과 피카르 군 Pic(''S'') 사이의 식별을 통해 '''Q'''-제수의 '''Q'''-선형 동등류이다.) 특히 ''S''가 사영적이면 모듈 제수 ''M''_''S''는 음이 아닌 차수를 가지며, 타원 곡면이 동치적(즉, 모든 매끄러운 파이버가 동형)일 때만 차수가 0이다.

후지타 공식의 판별식 제수는 다음과 같이 정의된다.

:$B\_S=\backslash sum\_\{p\backslash in\; S\}(1-c(p))[p]$,

여기서 ''c''(''p'')는 '''로그 표준 임계값''' $\backslash text\{lct\}(X,f^*(p))$이다. 이는 특이 파이버의 유형에 따라 0과 1 사이의 명시적인 유리수이다. 구체적으로, lct는 매끄러운 파이버 또는 유형 $I\_\{\backslash nu\}$의 경우 1이고, 다중 파이버 $\{\}\_mI\_\{\backslash nu\}$의 경우 1/''m'', $I\_\{\backslash nu\}^*$의 경우 1/2, II의 경우 5/6, III의 경우 3/4, IV의 경우 2/3, IV*의 경우 1/3, III*의 경우 1/4, II*의 경우 1/6이다.

표준 묶음 공식(후지타 형식)은 가와마타 유지로 등에 의해 임의 차원의 칼라비-야우 다양체의 패밀리로 일반화되었다.^[4]

8. 로그 변환

로그 변환은 타원 곡면 또는 올뭉치에서 밑 공간의 점 ''p'' 위에 있는 중복도 1의 올을 중복도 ''m''의 올로 바꾸는 변환이다. 반대로도 가능하여, 높은 중복도의 올을 모두 중복도 1의 올로 바꿀 수 있으며, 이를 통해 모든 중복 올을 제거할 수 있다.

로그 변환은 고다이라 차원을 변경하거나 대수 곡면을 비대수 곡면으로 바꿀 수 있을 정도로 강력하다.

'''예시:'''

''L''을 '''C'''의 격자 '''Z'''+i'''Z'''로 하고, ''E''를 타원 곡선 '''C'''/''L''로 둔다. 그러면 ''E''×'''C'''에서 '''C'''로의 투영 사상은 타원 올뭉치이다. 0 위의 올을 중복도 2의 올로 바꾸는 방법은 다음과 같다.

(''c'',''s'')를 (''c''+1/2, ''-s'')로 매핑하는 차수 2의 ''E''×'''C'''의 자기 동형 사상이 있다. 이 군 작용으로 ''E''×'''C'''의 몫을 ''X''로 둔다. (''c'',''s'')를 ''s''²로 매핑하여 ''X''를 '''C''' 위의 올 공간으로 만든다. (''c'',''s'')를 (''c''-log(''s'')/2πi,''s''²)로 매핑하여 0 위의 올을 제외한 ''X''에서 0 위의 올을 제외한 ''E''×'''C'''로의 동형 사상을 구성한다. 0 위의 두 올은 서로 동형이 아닌 타원 곡선이므로, 올뭉치 ''X''는 확실히 모든 '''C'''에 대해 올뭉치 ''E''×'''C'''와 동형이 아니다.

그러면 올뭉치 ''X''는 0 위에 중복도 2의 올을 가지며, 그렇지 않으면 ''E''×'''C'''처럼 보인다. ''X''는 중심 0에서 ''E''×'''C'''에 차수 2의 로그 변환을 적용하여 얻은 것이라고 한다.

참조

_[1] 논문 Barth et al. (2004), section V.10, Tables 5 and 6; Cossec and Dolgachev (1989), Corollary 5.2.3.
_[2] 논문 Barth et al. (2004), Corollary III.12.3.
_[3] 논문 Kollár (2007), section 8.2.
_[4] 논문 Kollár (2007), section 8.5.
_[5] 저널 On the structure of compact complex analytic surfaces I 1964
_[6] 저널 On the structure of compact complex analytic surfaces II https://archive.org/[...] 1966
_[7] 저널 Modeles minimaux des variétés abeliennes sur les corps locaux et globaux http://www.numdam.or[...] 1964